Понятие высказывания

§ 1 Понятие высказывания

Учение о высказываниях - алгебра высказываний, или алгебра логики, - является простейшей логической теорией. Она рассматривает конечные конфигурации символов и взаимоотношения между ними. Знакомство с законами алгебры высказываний облегчает изучение более сложных логических исчислений.

Высказывание - это всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются "истина" и "ложь".

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называются простыми или элементарными. Высказывания, получающиеся из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если... то...», «тогда и только тогда» называются сложными (составными). В алгебре высказываний исследуется вопрос об истинности сложного высказывания в зависимости от истинности входящих в него простых высказываний. Все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, житейское содержание игнорируется. Каждое высказывание может быть либо истинным, либо ложным, ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Введем следующие обозначения:

· элементарные высказывания будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, z, …, a, b, c, …;

· истинное значение высказывания x – буквой и или цифрой 1 и записывать x=1;

· ложное значение высказывания x – буквой л или цифрой 0 и записывать x=0.

Приведем примеры высказываний.

1) Париж – столица Финляндии.

2) 3>1.

3) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда знаменатель равен нулю.

4) y=sin x – периодическая функция.

5) Число 15 делится на 5 и на 3.

Все высказывания можно разделить на две группы по двум признакам:

1) по логическому значению,

2) по сложности.

Высказывания 2), 4) и 5) истинны, а 1) и 2) ложны.

Высказывания 1),2) и 4) элементарные, а 3) и 5) составные.