§ 4 Функции алгебры логики

4.1 Алгебра Буля

         Как видно из равносильностей III группы, алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно операций конъюнкции и дизъюнкции. Эти законы имеют место в алгебре чисел, поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).

            Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы , в котором определены отношения «=» (равно) и три операции: «+» (сложение), «_*» (умножение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы:

1а. x+y=y+x                       1б. x_*y=y_*x

Ассоциативные законы:

2а. x+(y+z)=(x+y)+z          2б. x_*(y_*z)=(x_*y)_*z

Дистрибутивные законы:

3а. (x+y)_*z=(x_*z)+(y_*z)      3б. (x_*y)+z=(x+z)_*(y+z)

Законы идемпотентности:

4а. x+x=x                           4б. x_*x=x

Закон снятия двойного отрицания:

5.

Законы де-Моргана:

6а.                   6б.

Законы поглощения:

7а. x+(y_*x)=x                       7б. x_*(y+x)=x

            Такое множество М называется булевой алгеброй. Если под основными элементами  рассматривать высказывания, а под операциями «+», «_*»,   «-» дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства как знак равносильности, то, как следует из равносильностей I, II и III групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются. Значит, алгебра логики является интерпретацией булевой алгебры.

Create by Barshay Natalia © 2005-2007